Cumulant Generating Function

定义 Definition

累积量母函数（CGF）：在概率论与统计中，用来刻画随机变量分布特征的函数，通常定义为随机变量 X 的矩母函数 M_X(t)=E[e^{tX}] 的对数：
\[ K_X(t)=\log E[e^{tX}] \] 它的各阶导数（在 0 处）与累积量（如均值、方差等）直接相关。该术语在大偏差理论、指数尾界（如 Chernoff bound）与统计推断中很常见。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkjuːmjʊlənt ˈdʒɛnəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The cumulant generating function is the log of the moment generating function.
累积量母函数就是矩母函数的对数。

By studying the cumulant generating function, we can derive Chernoff bounds for tail probabilities.
通过研究累积量母函数，我们可以推导出尾部概率的切尔诺夫界。

词源 Etymology

cumulant 来自 cumulative（“累积的”）的概念，用于指“累积量”（由矩组合而成、在求和时具有良好可加性的统计量）；generating function 指“母函数/生成函数”，即用一个函数把一列量（这里是累积量）系统地“生成/编码”出来。合起来表示“生成（编码）累积量的函数”。

相关词 Related Words

• Cumulant
• Moment Generating Function
• Characteristic Function
• Log-MGF
• Variance
• Chernoff Bound
• Large Deviations
• Exponential Family

文学与著作中的用例 Literary Works

• Large Deviations Techniques and Applications（Dembo & Zeitouni）
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）
• An Introduction to Probability Theory and Its Applications（William Feller）
• Statistical Inference（Casella & Berger）